1924.T4-[CSP-J 2022] 逻辑表达式expr

## 题目描述

逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具，包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。

在一个逻辑表达式中，元素的值只有两种可能：$0$（表示假）和 $1$（表示真）。元素之间有多种可能的逻辑运算，本题中只需考虑如下两种：“与”（符号为 `&`）和“或”（符号为 `|`）。其运算规则如下：

$0 \mathbin{\&} 0 = 0 \mathbin{\&} 1 = 1 \mathbin{\&} 0 = 0$，$1 \mathbin{\&} 1 = 1$；  
$0 \mathbin{|} 0 = 0$，$0 \mathbin{|} 1 = 1 \mathbin{|} 0 = 1 \mathbin{|} 1 = 1$。

在一个逻辑表达式中还可能有括号。规定在运算时，括号内的部分先运算；两种运算并列时，`&` 运算优先于 `|` 运算；同种运算并列时，从左向右运算。

比如，表达式 `0|1&0` 的运算顺序等同于 `0|(1&0)`；表达式 `0&1&0|1` 的运算顺序等同于 `((0&1)&0)|1`。

此外，在 C++ 等语言的有些编译器中，对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略：在形如 `a&b` 的逻辑表达式中，会先计算 `a` 部分的值，如果 $a = 0$，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $0$，故无需再计算 `b` 部分的值；同理，在形如 `a|b` 的逻辑表达式中，会先计算 `a` 部分的值，如果 $a = 1$，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $1$，无需再计算 `b` 部分的值。

现在给你一个逻辑表达式，你需要计算出它的值，并且统计出在计算过程中，两种类型的“短路”各出现了多少次。需要注意的是，如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计，如表达式 `1|(0&1)` 中，尽管 `0&1` 是一处“短路”，但由于外层的 `1|(0&1)` 本身就是一处“短路”，无需再计算 `0&1` 部分的值，因此不应当把这里的 `0&1` 计入一处“短路”。

## 输入格式

输入共一行，一个非空字符串 $s$ 表示待计算的逻辑表达式。

## 输出格式

输出共两行，第一行输出一个字符 `0` 或 `1`，表示这个逻辑表达式的值；第二行输出两个非负整数，分别表示计算上述逻辑表达式的过程中，形如 `a&b` 和 `a|b` 的“短路”各出现了多少次。

## 输入输出样例 #1

### 输入 #1

```
0&(1|0)|(1|1|1&0)
```

### 输出 #1

```
1
1 2
```

## 输入输出样例 #2

### 输入 #2

```
(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0
```

### 输出 #2

```
0
2 3
```

## 说明/提示

**【样例解释 \#1】**

该逻辑表达式的计算过程如下，每一行的注释表示上一行计算的过程：

```plain
0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0))   //先计算最左侧的 &，是一次形如 a&b 的“短路”
=0|(1|(1&0))       //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=0|1               //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=1
```

**【样例 \#3】**

见附件中的 `expr/expr3.in` 与 `expr/expr3.ans`。

**【样例 \#4】**

见附件中的 `expr/expr4.in` 与 `expr/expr4.ans`。

**【数据范围】**

设 $\lvert s \rvert$ 为字符串 $s$ 的长度。

对于所有数据，$1 \le \lvert s \rvert \le {10}^6$。保证 $s$ 中仅含有字符 `0`、`1`、`&`、`|`、`(`、`)` 且是一个符合规范的逻辑表达式。保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。保证 $s$ 中没有重复的括号嵌套（即没有形如 `((a))` 形式的子串，其中 `a` 是符合规范的逻辑表达式）。

| 测试点编号 | $\lvert s \rvert \le$ | 特殊条件 |
|:-:|:-:|:-:|
| $1 \sim 2$ | $3$ | 无 |
| $3 \sim 4$ | $5$ | 无 |
| $5$ | $2000$ | 1 |
| $6$ | $2000$ | 2 |
| $7$ | $2000$ | 3 |
| $8 \sim 10$ | $2000$ | 无 |
| $11 \sim 12$ | ${10}^6$ | 1 |
| $13 \sim 14$ | ${10}^6$ | 2 |
| $15 \sim 17$ | ${10}^6$ | 3 |
| $18 \sim 20$ | ${10}^6$ | 无 |

其中：  
特殊性质 1 为：保证 $s$ 中没有字符 `&`。  
特殊性质 2 为：保证 $s$ 中没有字符 `|`。  
特殊性质 3 为：保证 $s$ 中没有字符 `(` 和 `)`。

**【提示】**

以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义：

- 字符串 `0` 和 `1` 是符合规范的；
- 如果字符串 `s` 是符合规范的，且 `s` 不是形如 `(t)` 的字符串（其中 `t` 是符合规范的），那么字符串 `(s)` 也是符合规范的；
- 如果字符串 `a` 和 `b` 均是符合规范的，那么字符串 `a&b`、`a|b` 均是符合规范的；
- 所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。